Előadással kapcsolatos tudnivalók
Ajánlott jegyzetek:
- Az előadás alapján készült jegyzet új kiadása előkészület alatt van: Vágó Zsuzsanna: Matematikai Analizis I., Pázmány Egyetem eKiadó
- Kitekintés, további olvasnivaló: R. Courant-F. John: Introduction to Calculus and Analysis I-II. Springer (könyvtárban elérhető)
Tervezett tematika az
első félévre.
Teljes indukció. Számfogalom felépítése. Cantor-féle közösponttétel. Számhalmaz infimuma és
supremuma. Alapegyenlőtlenségek: számtani és mértani közép,
Bernoulli -egyenlőtlenség.
Konvergens és divergens számsorozatok. Korlátosság. Konvergencia és korlátosság. Bolzano-Weierstrass tétel. Az e szám értelmezése. Konvergencia Cauchy féle feltétele. Összehasonlító kritériumok. Rendőrelv. Nullsorozat. A + végtelen-hez illetve - végtelen-hez tartó sorozatok. Egyenlőtlenségek, korlátosság hiánya.
Végtelen sor fogalma. Konvergencia és divergencia. Caucy -féle feltétel. Végtelen mértani sor. Abszolút konvergencia. Gyök- és hányadoskritérium. Leibniz sor, ennek konvergenciája. Feltételesen konvergens sor.
Függvény, alapfogalmak. Valós függvény határértéke, folytonosság. Monotonitás. Nevezetes határértékek. Átviteli elvek. Összetett függvények. Intervallumon értelmezett folytonos függvények. Exponenciális függvény kiterjesztése. Egyváltozós függvény differenciálhatósága. Geometriai és fizikai háttér. Ekvivalens megfogalmazások. Elemi függvények differenciálhatósága. Kompozíció, inverz deriválási szabálya. Középérték tételek. Monoton függvények jellemzése. Szélsőérték elégséges és szükséges feltételei. Lokális Taylor-formula. Taylor formula maradéktaggal. Inflexió. Konvex függvények.
Riemann integrálhatóság. Darboux-féle definíció, alsó és felső közelítő összegek. Oszcillációs összeg. Integrálhatóság elégséges feltételei. Newton-Leibniz tétel. Primitív függvény, integrál függvény. Parciális integrálás. Integrálás ill. primitív-függvény keresés helyettesítéssel. Geometriai és fizikai alkalmazás.
Improprius integrál. Hatványfüggvény integrálja.
Elsőrendu differenciálegyenletek értelmezése. Szeparábilis DE. Lineáris DE. Homogén és inhomogén lineáris DE megoldása.
Függvény sorozatok és függvény sorok. Pontonkénti és egyenletes konvergencia. Hatványsorok. Konvergencia halmaz tulajdonságai, konvergencia sugár. A hatványsor összegének tulajdonságai. Exponenciális függvény, mint hatványsor összegfüggvénye. A sin, cos, binomiális függvény hatványsora. Taylor-sor fogalma.
vago AT
itk.ppke.hu