Analízis I.

Számfogalom felépítése. Alapegyenlőtlenségek: számtani és mértani közép, Bernoulli -egyenlőtlenség. Cantor-féle közösponttétel. Számhalmaz infimuma és supremuma, Dedekind axióma. Az e szám értelmezése.

Konvergens és divergens számsorozatok. Korlátosság. Konvergencia Cauchy féle feltétele. Rendezési relációk. Rendőrelv. Konvergencia és korlátosság. Bolzano-Weierstrass tétel. A + végtelen-hez illetve -végtelen-hez tartó sorozatok. Egyenlőtlenségek, korlátosság hiánya.

Végtelen sor fogalma. Konvergencia és divergencia. Caucy -féle feltétel. Abszolút konvergencia. Végtelen mértani sor. Gyök- és hányadoskritérium. Leibniz sor, ennek konvergenciája.

Egyváltozós függvény határértéke, folytonosság. Monotonitás. Nevezetes határértékek. Átviteli elvek. Összetett függvények. Intervallumon értelmezett folytonos függvények. Exponenciális függvény kiterjesztése. Egyváltozós függvény differenciálhatósága egy pontban. Geometriai és fizikai háttér. Ekvivalens megfogalmazások. Hatványfüggvény, trigonometrikus függvények differenciálhatósága. Kompozíció, inverz deriválási szabálya. Középérték tételek. Monoton függvények jellemzése. Szélsőérték elégséges és szükséges feltételei. Lokális Taylor-formula. Taylor formula maradéktaggal. Inflexió. Konvex függvények.

Riemann integrálhatóság. Darboux-féle definíció, alsó és felső közelíto összegek. Oszcillációs összeg. Integrálhatóság elégséges feltételei. Newton-Leibniz tétel. Primitív függvény, integrál függvény. Parciális integrálás. Integrálás ill. primitív-függvény keresés helyettesítéssel. Geometriai ill. fizikai alkalmazás.

Improprius integrál. Hatványfüggvény integrálja.

Elsőrendu differenciálegyenletek értelmezése. Szeparábilis DE. Lineáris DE. Homogén és inhomogén lineáris DE megoldása.

Hatványsorok. Konvergencia halmaz tulajdonságai, konvergencia sugár. A hatványsor összegének differenciálhatósága. Exponenciális függvény, mint hatványsor összegfüggvénye. A sin, cos, binomiális függvény. Taylor-sor fogalma.