Előadással kapcsolatos tudnivalók
Ajánlott jegyzetek:
- Az előadás alapján készült jegyzet. Vágó Zsuzsanna: Matematikai Analizis I., Pázmány Egyetem eKiadó
- Kitekintés, további olvasnivaló: R. Courant-F. John: Introduction to Calculus and Analysis I-II. Springer (könyvtárban elérhető)
Tervezett tematika az
első félévre.:
Teljes indukció. Számfogalom felépítése. Cantor-féle közösponttétel. Számhalmaz infimuma és supremuma. Alapegyenlőtlenségek: számtani és mértani közép, Bernoulli -egyenlőtlenség.
Konvergens és divergens számsorozatok. Korlátosság. Konvergencia és korlátosság. Bolzano-Weierstrass tétel. Az e szám értelmezése. Konvergencia Cauchy féle feltétele. Összehasonlító kritériumok. Rendőrelv. Nullsorozat. A + végtelen-hez illetve - végtelen-hez tartó sorozatok. Egyenlőtlenségek, korlátosság hiánya.
Végtelen sor fogalma. Konvergencia és divergencia. Caucy -féle feltétel. Végtelen mértani sor. Abszolút konvergencia. Gyök- és hányadoskritérium. Leibniz sor, ennek konvergenciája. Feltételesen konvergens sor.
Függvény, alapfogalmak. Valós függvény határértéke, folytonosság. Monotonitás. Nevezetes határértékek. Átviteli elvek. Összetett függvények. Folytonos függvények tulajdonságai.
Egyváltozós függvény differenciálhatósága. Geometriai és fizikai háttér. Ekvivalens megfogalmazások. Elemi függvények differenciálhatósága. Kompozíció, inverz deriválási szabálya. Érintő egyenes egyenlete, lineáris közelítés. Középérték tételek. Monoton függvények jellemzése. Szélsőérték szükséges és elégséges feltételei. Taylor polinom. Lagrange féle maradéktag. Inflexió. Konvex függvények.
Riemann integrálhatóság. Darboux-féle definíció, alsó és felső közelítő összegek. Oszcillációs összeg. Integrálhatóság elégséges feltételei. Newton-Leibniz tétel. Primitív függvény, integrál függvény. Parciális integrálás. Integrálás ill. primitív-függvény keresés helyettesítéssel. Geometriai és fizikai alkalmazások.
Improprius integrál. Hatványfüggvény integrálja.
Jordan görbe. Ívhossz. Vonalintegrál. Potenciálkeresés. Felületi integrál.
Elsőrendu differenciálegyenletek (DE) értelmezése. Szeparábilis DE. Lineáris DE. Homogén és inhomogén lineáris DE megoldása. Kezdetiérték feladat.
Hatványsorok. Konvergencia sugár. Exponenciális függvény, mint hatványsor összegfüggvénye. A sin, cos, függvény hatványsora. Taylor-sor.
vago AT
itk.ppke.hu