Analízis II.

Fourier analízis, I. Trigonometrikus polinomok.  Ortogonalitás. Fourier-sorok. Fourier együtthatók. Példák. Trigonometrikus sorok komplex alakja. Deriváltfüggvény Fourier sora. Fourier sorok alaptétele, függvény előállítása Fourier sora segítségével. Két alaplemma a bizonyításhoz. Példák. Bessel egyenlőtlenség. Parseval tétel.

Többváltozós függvények. Korlátos és konvergens pontsorozatok két dimenzióban. Cauchy-feltétel. Bolzano-Weierstrass tétel. Pontok és ponthalmazok a síkon. Környezet, intervallum. Belső/külső/határ-pont. Halmaz torlódási pontja, lezárása. Kétváltozós függvények. Geometriai reprezentáció: felület három dimenzióban, szintvonalak. Folytonosság, sorozatfolytonosság. Egyenletes és Lipschitz -folytonosság.  Polárkoordináták. Függvény határértéke. Példák, koordinátánkénti határérték létezése nem elég. Weierstrass tételek. Parciális deriváltak. Geometriai reprezentáció. Kiszámítás. Magasabb rendű parciális deriváltak. Deriválási sorrend felcserélése. Teljes differenciálhatóság magasabb dimenzióban. Geometriai jelentés. Differenciálhatóság és folytonosság. A derivált, mint vektor. Második derivált-mátrix. Irány menti derivált. Összetett függvény. Láncszabály. Implicit függvény tétel. Egzisztencia és unicitás, példák. Szélsőértékszámítás. Szükséges feltétel. Elégséges feltétel, Hesse mátrix kétdimenzióban és általában. Feltételes szélsőérték. Megoldás geometriai jelentése. Lagrange-féle multiplikátor szabály. Függvényrendszerek, koordináta transzformáció. Gömbi koordináták. Inverz függvény differenciálja. Jacobi mátrix és Jacobi determináns. Lagrange-féle középértéktétel. Taylor formula kétdimenzióban. Taylor formula általában - két tagig.

Általánosítás Rⁿ-re.

Többszörös integrálok. Jordan mérték két dimenzióban. Mérhető és nem mérhető halmazok. Riemann integrál két-dimenzióban, térfogatszámítás. Alaptulajdonságok. Integrál középérték tétel. Többszörös integrál redukálása egyszeres integrálokra. Integrálás kétdimenziós intervallumon. Integrálás normáltartományon. Transzformáció a síkon, lineáris és általános. Integrál transzformáció. Improprius integrálok. Nem korlátos függvény integrálja. Integrálás nem korlátos tartományon. Hatványfüggvény integrálja. Majoránskritériumok. Kitekintés a többszörös integrálokra. Háromszoros integrál. Normáltartomány, integráltranszformáció. Áttérés gömbi koordinátákra.

Fourier analízis, II. Fourier integrál. Alaptétel. Komplex alak. Fourier transzformáció. Tulajdonságok. Példák. Fixpont. Parseval egyenlőség.  Deriváltfüggvény Fourier transzformáltja  . 

Differenciálegyenletek II. Magasabb rendű differenciálegyenletek. Lineáris függetlenség. Wronski determináns. n-ed rendű homogén lineáris DE általános megoldása, lineárisan független alapmegoldások. Karakterisztikus egyenlet, valós, komplex gyökök, többszörös gyökök. Inhomogén egyenlet megoldása: állandók variálása. Próbafüggvények. Laplace transzformáció alkalmazása DE megoldására. Differenciálegyenlet rendszerek. Lineáris rendszerek, megoldások. Parciális differenciálegyenletek. Peremérték feladat. Másodrendű, állandó együtthatós PDE-k, kanonikus alak. Osztályozásuk. Elliptikus PDE: Laplace egyenlet. Parabolikus egyenlet: hővezetés. A hővezetési egyenlet megoldása egy-dimenzióban, Fourier módszer.  Dirac-delta, mint peremfeltétel. Hiperbolikus egyenlet: hullámmozgás. A feladat megoldása egy-dimenzióban, D'Alambert -féle megoldás, koordináta transzformációval.

Komplex függvénytan. Komplex elemű számsorozatok, számsorok. Komplex geometriai sor. Hatványsorok. Komplex függvény. Folytonosság. Határérték. Példa nem folytonos függvényre. Differenciálhatóság. Cauchy-Riemann egyenletek, szükséges és elégséges feltétel. Analitikus függvények, alaptulajdonságok. Harmonikus függvény, harmonikus társ. Elemi függvények (exp, sin, cos, ln) kiterjesztése a komplex számsíkra. Jordan görbe a komplex számsíkon. Ívhossz. Komplex vonalintegrál definíciója. Alaptulajdonságok. Vonalintegrál kiszámítása klasszikus eszközökkel: helyettesítéssel ill Newton-Leibniz formula alapján. Cauchy-féle alaptétel: analitikus függvény integrálja zárt görbe mentén, ill. ennek általánosítása. Cauchy-féle integrálformula. Taylor sorfejtés analitikus függvényekre.  Zérus, pólus, residuum. Residuum tétel. Laurent sor. Szingularitások osztályozása. Komplex vonalintegrálok kiszámítása.

Irodalom:

Az előadások írott jegyzet formájában a web-en hozzáférhetők.

1. Többváltozós függvények.

2. Többszörös integálok.

3. Fourier analízis.

4. Komplex függvénytan.

5. Differenciálegyenletek.