Matematikai Analízis II.

Függvénysorozatok, függvénysorok. Speciális eset: Hatványsorok.

Trigonometrikus polinomok. Ortogonalitás. Fourier-sorok. Fourier együtthatók. Példák.

Trigonometrikus sorok komplex alakja. Derivált-függvény Fourier sora.

Fourier sorok alaptétele, függvény előállítása Fourier sora segítségével. Példák. Bessel egyenlőtlenség. Parseval tétel.

Korlátos és konvergens pontsorozatok két dimenzióban. Cauchy-feltétel. Bolzano-Weierstrass tétel.

Pontok és ponthalmazok a síkon. Környezet, intervallum. Belső/külső/határ-pont. Halmaz torlódási pontja, lezárása.

Polárkoordináták.

Kétváltozós függvények. Geometriai reprezentáció: felület három dimenzióban, szintvonalak.

Folytonosság, sorozatfolytonosság. Egyenletes és Lipschitz -folytonosság.

Függvény határértéke. Weierstrass tételek.

Parciális deriváltak. Geometriai reprezentáció. Kiszámítás.

Magasabb rendű parciális deriváltak. Deriválási sorrend felcserélése.

Teljes differenciálhatóság magasabb dimenzióban. Geometriai jelentés.

Differenciálhatóság és folytonosság. A derivált, mint vektor. Második derivált-mátrix

Hesse mátrix két dimenzióban és általában.

Irány menti derivált. Összetett függvény. Láncszabály. Általánosítás Rⁿ-re.

Implicit függvény tétel. Egzisztencia és unicitás, példák

Szélsőérték számítás. Szükséges feltétel. Elégséges feltétel,

Feltételes szélsőérték. Megoldás geometriai jelentése. Lagrange-féle multiplikátor szabály.

Függvényrendszerek, koordináta transzformáció. Gömbi koordináták. s

Jacobi mátrix és Jacobi determináns. Inverz függvény differenciálja.

Lagrange-féle középértéktétel.

Taylor formula két dimenzióban. Taylor formula általában - két tagig.

Riemann integrál két-dimenzióban, térfogatszámítás. Alaptulajdonságok.

Többszörös integrál redukálása egyszeres integrálokra.

Integrálás kétdimenziós intervallumon. Integrálás normáltartományon.

Transzformáció a síkon, lineáris és általános. Integrál transzformáció.

Háromszoros integrál. Normáltartomány, integrál transzformáció.

Áttérés gömbi koordinátákra. Hengerkoordináták.

Improprius integrálok. Nem korlátos függvény integrálja. Integrálás nem korlátos tartományon.

Hatványfüggvény integrálja. Majoráns kritériumok.

Kitekintés a többszörös integrálokra.

Vonalintegrál. Felületi integrál.

Fourier integrál. Alaptétel. Komplex alak.

Fourier transzformáció. Tulajdonságok. Példák. Fixpont.

Parseval egyenlőség. Derivált-függvény Fourier transzformáltja.

Konvolúció. Időtartományban és frekveniatartományban.

Dirac delta, ennek Fourier transzformáltja.

Magasabb rendű lineáaris differenciálegyenletek.

Lineáris függetlenség. Wronski determináns.

n-ed rendű homogén lineáris DE általános megoldása, lineárisan független alapmegoldások.

Karakterisztikus egyenlet, valós, komplex gyökök, többszörös gyökök.

Inhomogén egyenlet megoldása: állandók variálása.

Próbafüggvények.

Differenciálegyenlet rendszerek. Lineáris rendszerek, megoldások.

Komplex függvény, kanonikus alak.

Folytonosság. Határérték.

Differenciálhatóság. Szükséges és elégséges feltétel: Cauchy-Riemann egyenletek.

Analitikus függvények, alaptulajdonságok. Harmonikus függvény, harmonikus társ.

Elemi függvények (exp, sin, cos, ln) kiterjesztése a komplex számsíkra.

Cauchy-féle alaptétel: analitikus függvény integrálja zárt görbe mentén, ill. ennek általánosítása.

Cauchy-féle integrálformula. Taylor sorfejtés analitikus függvényekre.

Zérus, pólus, residuum. Residuum tétel.

Laurent sor. Szingularitások osztályozása.

Komplex vonalintegrálok kiszámítása.