Analízis
II.
Függvénysorozatok, függvénysorok. Trigonometrikus
polinomok. Ortogonalitás.
Fourier-sorok. Fourier együtthatók. Példák.
Trigonometrikus sorok komplex alakja. Deriváltfüggvény
Fourier sora.
Fourier sorok alaptétele, függvény előállítása
Fourier sora segítségével. Példák. Bessel
egyenlőtlenség. Parseval tétel.
Korlátos és konvergens pontsorozatok két dimenzióban.
Cauchy-feltétel. Bolzano-Weierstrass tétel.
Pontok és ponthalmazok a síkon. Környezet, intervallum.
Belső/külső/határ-pont. Halmaz torlódási pontja, lezárása.
Kétváltozós függvények. Geometriai reprezentáció: felület
három dimenzióban, szintvonalak.
Folytonosság, sorozatfolytonosság. Egyenletes és Lipschitz -folytonosság.
Polárkoordináták.
Függvény határértéke. Példák, koordinátánkénti határérték létezése nem elég.
Weierstrass tételek.
Parciális deriváltak. Geometriai reprezentáció.
Kiszámítás.
Magasabb rendű parciális deriváltak. Deriválási
sorrend felcserélése.
Teljes differenciálhatóság magasabb dimenzióban.
Geometriai jelentés.
Differenciálhatóság és folytonosság. A derivált, mint
vektor. Második derivált-mátrix
Hesse mátrix két dimenzióban és általában.
Irány menti derivált. Összetett függvény. Láncszabály.
Általánosítás Rn-re.
Implicit függvény tétel. Egzisztencia és unicitás, példák
Szélsőérték számítás. Szükséges feltétel. Elégséges
feltétel,
Feltételes szélsőérték. Megoldás geometriai
jelentése. Lagrange-féle multiplikátor szabály.
Függvényrendszerek, koordináta transzformáció. Gömbi
koordináták. s
Jacobi mátrix és Jacobi determináns. Inverz függvény
differenciálja.
Lagrange-féle középértéktétel.
Taylor formula kétdimenzióban.
Taylor formula általában - két tagig.
Riemann integrál két-dimenzióban,
térfogatszámítás. Alaptulajdonságok.
Többszörös integrál redukálása egyszeres integrálokra.
Integrálás kétdimenziós intervallumon. Integrálás
normáltartományon.
Transzformáció a síkon, lineáris és általános. Integrál
transzformáció.
Háromszoros integrál. Normáltartomány, integrál
transzformáció.
Áttérés gömbi koordinátákra. Hengerkoordináták.
Improprius integrálok. Nem
korlátos függvény integrálja. Integrálás nem korlátos tartományon.
Hatványfüggvény integrálja. Majoráns
kritériumok.
Kitekintés a többszörös integrálokra.
Vonalintegrál. Felületi integrál.
Fourier integrál. Alaptétel. Komplex alak.
Fourier transzformáció. Tulajdonságok. Példák. Fixpont.
Parseval egyenlőség. Deriváltfüggvény
Fourier transzformáltja.
Magasabb rendű differenciálegyenletek.
Lineáris függetlenség. Wronski
determináns.
n-ed rendű homogén lineáris DE
általános megoldása, lineárisan független alapmegoldások.
Karakterisztikus egyenlet, valós, komplex gyökök,
többszörös gyökök.
Inhomogén egyenlet megoldása: állandók variálása.
Próbafüggvények.
Differenciálegyenlet rendszerek. Lineáris rendszerek,
megoldások.
Laplace transzformáció. Értelmezési tartomány,
alaptulajdonságok.
Alapfüggvények Laplace transzformáltja.
Konvolúció.
Dirac delta, ennek Laplace transzformáltja.
Laplace transzformáció alkalmazása DE megoldására.
Komplex függvénytan Kanonikus alak.
Folytonosság. Határérték. Példa nem folytonos függvényre.
Differenciálhatóság. Cauchy-Riemann egyenletek, szükséges
és elégséges feltétel.
Analitikus függvények, alaptulajdonságok. Harmonikus
függvény, harmonikus társ.
Elemi függvények (exp, sin,
cos, ln) kiterjesztése a komplex számsíkra.
Cauchy-féle alaptétel: analitikus függvény integrálja
zárt görbe mentén, ill. ennek általánosítása.
Cauchy-féle integrálformula. Taylor sorfejtés analitikus
függvényekre.
Zérus, pólus, residuum. Residuum tétel.
Laurent sor. Szingularitások osztályozása.
Komplex vonalintegrálok kiszámítása.
Parciális differenciálegyenletek. Peremérték feladat.
Elsőrendű PDE. Karakterisztikus görbe.
Alapmegoldás.
Másodrendű, állandó együtthatós PDE-k,
kanonikus alak. Osztályozásuk.
Elliptikus PDE: Laplace egyenlet.
Parabolikus egyenlet: hővezetés. A hővezetési
egyenlet megoldása egy-dimenzióban, Fourier módszer..
Hiperbolikus egyenlet: hullámmozgás. A feladat megoldása
egy-dimenzióban, D'Alambert -féle
megoldás.