Fortsetzung (Continuation) von Nullstellen

Gegeben sei die Funktion

$$f: \mathbb{R}^2:\rightarrow \mathbb{R}.$$

Es wird eine Nullstellenkurve von $f$ gesucht. Wir bestimmen diese Kurve mit der Pseudobogenlängen-Fortsetzung.

Als erstes muss die zu betrachtende Funktion $f(x,y)$ vom Benutzer eingegeben werden. Danach sollte der Startwert (initial point) und eine Schätzung des Tangentialvektors (psi) in die GUI eingetragen werden. Die maximale Anzahl der Fortsetzungsschritte wird unter $n_{max}$ eingegeben. Hierbei ist zu beachten, dass die Fortsetzung abbricht, falls der Bildrand in weniger als $n_{max}$ Schritten erreicht wird. Danach ist eine weitere Fortsetzung mittels des Knopfes $step$ und der dahinter eingetragenen Schrittzahl möglich.
Als nächstes werden die Schrittweiten :

$$s_0,s_{max}$$    und $$s_{min}$$

benötigt. Für die Schrittweitensteuerung werden zusätzlich die Dämpfungsfaktoren $\kappa$ und $\theta$ gebraucht (vgl. Abbildung 1). Der Parameter $\theta$ wird auch im Newtonblock (vgl. Abbildung 2) genutzt. Die maximale Anzahl der Newtonschritte wird mit dem Parameter $k_{max}$ festgelegt. Der Parameter $tol$ gibt die Toleranz des Newtonverfahrens an.

Nach Durchführung des Verfahrens wird eine glatte Kurve aus den berechneten Daten mittels kubischer Interpolation bestimmt, vgl. Kapitel 3.3 in [2].
Die Details des Algorithmus der Pseudobogenlängen-Fortsetzung können in $[1]$ nachgelesen werden.

Die folgenden Abbildungen zeigen den in der GUI eingesetzten Algorithmus sowie den Newtonblock.

Abbildung 1: Pseudobogenlängen-Fortsetzung

Abbildung 2: Newtonblock

Die Abbildungen 1 und 2 wurden aus [3] entnommen.

[1] Willy J.F. Govaerts. Numerical methods for bifurcations of dynamical equilibria. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2000

[2] W.-J. Beyn. Vorlesungsskriptum Numerik I. Universität Bielefeld, Sommersemester 2006

[3] J. Möller. Das nichtlineare Eigenwertproblem, Bielefeld, 07.03.2008