\documentclass{scrartcl}
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\newtheorem*{satz}{Satz}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{bsp}{Beispiele}

\title{Mehrschrittverfahren}
\date{ }

\begin{document}
	\maketitle
	\section*{Theoretischer Hintergrund}
	Ist
	\[
		\frac{1}{h}\sum_{\nu=0}^m a_\nu u^{j+\nu}
		=
		\sum_{\nu = 0}^m b_\nu f(t_{j+\nu},u^{j+\nu})
	\]
	ein lineares Mehrschrittverfahren zur L\"osung von Anfangswertproblemen,
	so ist die \emph{Konsistenzordnung} des Verfahrens $p$, wenn
	die Koeffizienten $a_\nu,b_\nu$ folgende Gleichungen erf\"ullen
	\begin{equation}
		\label{eq:konsistenz}
		\sum_{\nu=0}^m a_\nu p_k(\nu) 
		=
		\sum_{\nu =0}^m b_\nu p_k'(\nu), k=0,\dotsc,p.
	\end{equation}
	Dabei ist $p_k(\nu) = \frac{\nu^k}{k!}$.

	Um die triviale L\"osung auszuschlie\ss{}en und die L\"osung eindeutig
	zu machen, fordert man zus\"atzlich
	\begin{equation}
		\label{eq:normierung}
		\sum_{\nu = 0}^m b_\nu = 1.
	\end{equation}

	Es gilt der folgende Satz
	\begin{satz}
	\begin{enumerate}[I)]
	\item 
		Alle Koeffizienten seien Null au\ss{}er
		\[
			a_{m_0},a_m \text{ und } b_{\nu_0},\dotsc,b_{\nu_1}
		\]
	mit $m_0 < m$.
	Dann sind \eqref{eq:konsistenz} und \eqref{eq:normierung}
	mit $p = \nu_1 - \nu_0 + 1$
	eindeutig l\"osbar und $p$ gibt die Konsistenzordnung des Verfahrens an.
	\item
	Alle Koeffizienten seien Null au\ss{}er
	\[
		a_{m_0},\dotsc,a_m \text{ und } b_{\nu_0},\dotsc,b_{\nu_1}
	\]
	mit $m_0 \leq \nu_0 \leq \nu_1 \leq m$.
	Dann sind \eqref{eq:konsistenz} und \eqref{eq:normierung}
	mit $p = m - m_0 + \nu_1 - \nu_0$
	eindeutig l\"osbar und $p$ gibt die Konsistenzordnung des Verfahrens an.
	\end{enumerate}
	\end{satz}

	\subsection*{Beispiele}
	\begin{enumerate}[I)]
		\item
			\begin{enumerate}[a)]
				\item $m_0 = m-1, \nu_0 =0, \nu_1 = m-1$ Adams-Bashforth
				\item $m_0 = m-1, \nu_0 =0, \nu_1 = m$ Adams-Moulton

				\item $m_0 = m-2, \nu_0 =0, \nu_1 = m-1$ Nystr\"om
				\item $m_0 = m-2, \nu_0 =0, \nu_1 = m$ Milne-Simpson
			\end{enumerate}
		\item
			\begin{enumerate}[a)]
				\item $m_0 = 0, \nu_0 = \nu_1 = m$ r\"uckw\"artige Differenzenformeln (BDF)
				\item $m_0 = 0, \nu_0 = \nu_1 = m-1$ Mittelpunktsregel

			\end{enumerate}
	\end{enumerate}


\end{document}
