xxMehrschrittverfahren

Mehrschrittverfahren

Theoretischer Hintergrund Ist

. \frac{1}{h} ∑_{ν=0}^{m} a_{ν}u^{j+ν} = ∑_{ν=0}^{m} b_{ν}f(t_{j+ν}, u^{j+ν})

ein lineares Mehrschrittverfahren zur Lxsung von Anfangswertproblemen, so ist die Konsistenzordnung des Verfahrens p, wenn die Koeffizienten a_{ν}, b_{ν} folgende Gleichungen erfxllen

.  ∑_{ν=0}^{m} a_{ν}p_{k}(ν) = ∑_{ν=0}^{m} b_{ν}p′_{k}(ν), k = 0, …, p.

Dabei ist p_{k}(ν) = \frac{ν^{k}}{k!} .

Um die triviale Lxsung auszuschließen und die Lxsung eindeutig zu machen, fordert man zusxtzlich

.  ∑_{ν=0}^{m} b_{ν} = 1.

(2)

Es gilt der folgende Satz

Satz.

I) Alle Koeffizienten seien Null außer

. a_{m_{0}}, a_{m} und b_{ν_{0}}, …, b_{ν_{1}}

mit m_{0} < m. Dann sind (1) und (2) mit p = ν_{1} − ν_{0} + 1 eindeutig lxsbar und p gibt die Konsistenzordnung des Verfahrens an.

II) Alle Koeffizienten seien Null außer

. a_{m_{0}}, …, a_{m} und b_{ν_{0}}, …, b_{ν_{1}}

mit m_{0} ≤ ν_{0} ≤ ν_{1} ≤ m. Dann sind (1) und (2) mit p = m−m_{0} +ν_{1} −ν_{0} eindeutig lxsbar und p gibt die Konsistenzordnung des Verfahrens an.

Beispiele

I) a) m_{0} = m − 1, ν_{0} = 0, ν_{1} = m − 1 Adams-Bashforth

b) m_{0} = m − 1, ν_{0} = 0, ν_{1} = m Adams-Moulton

c) m_{0} = m − 2, ν_{0} = 0, ν_{1} = m − 1 Nystrxm

d) m_{0} = m − 2, ν_{0} = 0, ν_{1} = m Milne-Simpson II)

a) m_{0} = 0, ν_{0} = ν_{1} = m rxckwxrtige Differenzenformeln (BDF)

b) m_{0} = 0, ν_{0} = ν_{1} = m − 1 Mittelpunktsregel